论文摘要
网络编码理论的创立是21世纪初通信和信息论领域的重大突破，其核心思想是允许网络中间节点对输入信息做线性或非线性的编码处理后再转发。网络编码是一种融合了路由和编码的信息传输机制，已经被证明在提高吞吐量、数据安全、鲁棒性、普适性、负载均衡及低计算复杂性等方面具有很大优势。目前，网络编码已成为网络和通信领域的研究热点。在此带动之下，许多数学方法被应用到网络编码理论的研究当中，主要包括代数、图论、拟阵论、组合与优化等等。网络编码的一个基本问题是理解容量区域并研究达到容量界的编码类型。利用拟阵这一数学工具构造有效的网络编码方案及研究多源多宿网络编码的容量区域成为当前网络编码领域重要的研究课题之一。本文着重研究了拟阵在确定编码容量区域的边界、构造线性网络纠错编码等方面的应用，取得的主要成果包括以下几个方面：1.根据Dougherty等人提出的构造可拟阵化网络的方法和步骤得到了与向量拟阵R8相关的网络，并利用Ingleton不等式和张-扬非香农型信息不等式得到了该网络编码容量的一个上界。2.利用扩展网络与扩展全局编码核等概念，刻画了线性网络纠错码与可表示拟阵的关系。根据线性网络纠错码的本质特征，改进了Prasad等提出的可拟阵化纠错网络的定义，将其推广到线性网络纠错码在不同的信宿节点（集）具有不同的纠错能力的情形。随后，并研究了单信源可拟阵化网络与线性多播/线性广播/线性扩散网络纠错MDS码的关系。3.提出了一种基于二阶射影线性群PGL(2, p)的子群H上的双层群网络编码方法，证明了群直积H n中的双层群网络码可利用加法群Z p与Zp1上的n-长线性码构造而成。最后，用一个可拟阵化网络的实例说明了所提出的编码方案在可达容量区域方面的优势。