论文摘要
传统观点下对数学累积性的认识包括了数学发现的累积性和数学证明的累积性,以及对数学与经验无涉的认识,并试图通过建立某种基础去统一数学和说明数学的真理性,但就数学的历史来看,上述努力都失败了,这就需要我们对传统的观点做出纠正。在科学哲学中历史主义的启发下,学界也有人认识到,“革命”是不与数学的本性相矛盾的,在数学中,逻辑上可能而且历史上确实存在与科学革命相类似的革命过程。于是,在将具有层次的整体论引入数学后,就可以建立一种与库恩的“科学革命”具有类似特征——即整体性的意义变革——的狭义上的数学革命,且又由B.科恩对革命一词的语义和历史的研究,则可以引入包含有价值评价的广义上的数学革命,从而可以对数学革命进行一定的分类。为了探讨狭义上的数学革命,必须将库恩的“范式”和“反常”也引入数学中,在前人工作的基础上,结合当代的数学前沿“反推数学”与“哥德尔层级”可以发现,数学范式本身也是有其层次结构的,由于此层次结构的存在,三种类型的数学反常——包括与元数学观点,基本概念与公理集相矛盾的新概念、在某数学公理体系内无法判定真值的基本且重要的命题和数学悖论——就存在一定的影响范围,重要的是,相对于科学中的反常来说,数学中的反常主要发生在其核心部分,这些都可以通过史料得以说明。数学为应对三种类型的数学反常所做的变革就构成了狭义革命的三种类型,即概念革命,与原理论相平行的新数学理论的独立重建以及消融悖论的理论调整；而广义上的数学革命包含了价值判断,一般的说,该价值判断是以对促使数学发展的“动态因素”——包括重要的数学方法,引领主流研究方向的数学问题——的力量或趋向的影响大小为指标的,产生广义革命的深层次根源在于原有的数学理论和方法的历史局限性：对广义革命所做的考察也说明了对“数学范式”仅仅做静态的结构分析是不够的,还需要对其中潜藏的促使其演变的动态因素进行分析,这也是对前文中的“数学范式”的内涵的补充。后,在上述对数学革命的探讨的基础上,可以重审并反思数学的本性,其中包括对数学所研究的对象的重新认识以及对数学证明所具有的历史性的认识,而这些也为“狭义数学革命何以可能?”的问题做出了回答；而对于作为整体的数学来说,应将其视为“开放的演绎系统意义下的拟经验系统”,这种开放性和与经验的深层次上的关联恰恰也是数学的生命之所在。